Κυριακή, 25 Νοεμβρίου 2012

Διαφορικό Συνάρτησης

Το σύμβολο  \frac{dy}{dx}  δεν είναι πηλίκο.

Από τον Ροδόλφο Μπόρη , mathematica.gr

Επειδή συνήθως στη φυσική παρουσιάζεται το \displaystyle{dt} (διαφορικό) παρόλο που δεν βρίσκεται στην ύλη οι δυο επόμενες παράγραφοι εξηγούν τί είναι το διαφορικό.

Έστω λοιπόν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:\to R} και ας είναι \displaystyle{x_0} ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Α. Τότε την γραμμική συνάρτηση \displaystyle{g:R \to R} με τύπο \displaystyle{ g(h)=f(x_0 )(h)} ονομάζουμε διαφορικό της \displaystyle{ f } στο σημείο \displaystyle{ x_0} και συμβολίζουμε με: \displaystyle{df(x_0 )(h)} . Δηλαδή:\displaystyle{df(x_0 )(h)=f'(x_0 ) h} .

Για οικονομία του συμβολισμού, όπως αντί να γράφουμε π.χ \displaystyle{y(h)=h^2 }, γράφουμε \displaystyle{y=h^2} , έτσι και για το διαφορικό γράφουμε \displaystyle{df(x_0 )} οπότε \displaystyle{df(x_0 )=f'(x_0 )h} . Μια γεωμετρική ερμηνεία ξεκαθαρίζει περισσότερο τα πράγματα , τονίζοντας την διαφορά του διαφορικού από την μεταβολή των τιμών της συνάρτησης. 

Με \displaystyle{\Delta f(x_0))} συμβολίσαμε την διαφορά των τιμών \displaystyle{ f(x_0+h)-f(x_0)} .

Παρατήρηση: Για τις συναρτήσεις με τύπους \displaystyle{y(x)=ax+b} η μεταβολή των τιμών τους \displaystyle{\Delta y} και το διαφορικό τους \displaystyle{dy} ταυτίζονται πράγμα όμως που δεν αληθεύει για τις υπόλοιπες συναρτήσεις γενικά.

Το  \displaystyle{dx}

Αν  \displaystyle{T(x)}  η ταυτοτική συνάρτηση με τύπο  \displaystyle{T(x) = x}  τότε από την προηγούμενη παρατήρηση θα είναι  \displaystyle{\Delta T(x) = dT(x)}  η πιο σύντομα αφού  \displaystyle{T(x) = x}  είναι  \displaystyle{\Delta x = dx.}  Mπορούμε τώρα να αποκτήσουμε έναν διάσημο τύπο.

Πράγματι έχουμε:
\displaystyle{dT(x)(h)=T'(x)h,dx(h)=(x)'h (T(x)=x),dx(h)=h}  (και απλοποιώντας τον συμβολισμο) ,\displaystyle{dx=h}   . Τώρα για οποιαδήποτε παραγωγίσιμη συνάρτηση f με βάση τον ορισμό θα είναι:

\displaystyle{ df(x)(h)=f'(x)h,df(x)=f'(x)h, df(x)=f'(x)dx}

Αυτός ο τελευταίος τύπος δεν μπορεί να αποτελέσει ορισμό του διαφορικού γιατί ορίζει το διαφορικό μέσω ενός άλλου διαφορικού.

Προσοχή !! Η παράγωγος δεν μπορεί να οριστεί σαν πηλίκο διαφορικών γιατί θα υπάρξουν προβλήματα μηδενισμού του παρανομαστή. Η παραδοχή στοιχειωδών (απειροστών) ποσοτήτων δεν θεμελιώνεται αυστηρά. Η χρήση αυτών των πραγμάτων
εξυπηρετεί μόνον εκπαιδευτικούς σκοπούς και ιδιαίτερα στην φυσική. 

Επειδή το διαφορικό μιας \displaystyle{f(x)} είναι ανεξάρτητο του \displaystyle{x} (μεταβλητή του είναι μόνον το h) θα ισχύουν:

\displaystyle{d/dx (dx)=0 , d(dx)=0 .}

Η εισαγωγή της έννοιας του διαφορικού εξυπηρετεί την προσπάθεια ευθυοποίησης μιας καμπύλης, δηλαδή της αντικατάστασης της από τμήματα ευθειών που είναι από τις πιο απλές συναρτήσεις. Τοπικά λοιπόν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να προσεγγίζεται από τμήματα ευθειών και πιο συγκεκριμένα από τις εφαπτόμενες της στα αντίστοιχα σημεία.


Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger... Άδεια Creative Commons
Αυτό το εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση 4.0 Διεθνές .