Πέμπτη, 11 Οκτωβρίου 2012

Τα σύμβολα συν άπειρο και πλην άπειρο

Ο ορισμός των συμβόλων  +\infty ( συν άπειρο) και -\infty ( πλην άπειρο) .

Δημοσίευση του Αντώνη Κυριακόπουλου στο mathematica.gr 



Τα σύμβολα +\infty ( συν άπειρο) και-\infty ( πλην άπειρο) ορίζονται ως διάφορα μεταξύ τους καθώς και προς κάθε πραγματικό αριθμό. Έτσι, τα σύμβολα αυτά δεν παριστάνουν πραγματικούς αριθμούς (δεν είναι πραγματικοί αριθμοί, δεν ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών \mathbb{R}). Θέτουμε:
\overline{\mathbb{R}} \mathop  = \limits_{o\rho .} \mathbb{R} \cup \left\{ { + \infty , - \infty } \right\}.....


Την γνωστή σχέση < ( μικρότερο) στο \mathbb{R} επεκτείνουμε και στο\overline{\mathbb{R}}, ορίζοντας:
- \infty  <  + \infty
- \infty  < \alpha  <  + \infty ,\forall \alpha  \in \mathbb{R}.

Το σύνολο \overline{\mathbb{R}} εφοδιασμένο με την παραπάνω σχέση < ( με τη βοήθεια της οποίας ορίζεται στο \overline{\mathbb{R}} και η σχέση \le), ονομάζεται « το συμπαγές σύνολο των πραγματικών αριθμών» ή, στην γλώσσα της γεωμετρίας, « η συμπαγής ευθεία των πραγματικών αριθμών». 

Τα σύμβολα +\infty και-\infty, τα οποία δεν παριστάνουν σημεία της ευθείας των πραγματικών αριθμών, λέγονται και « κατ' εκδοχή σημεία» της συμπαγούς ευθείας των πραγματικών αριθμών.
• Οι γνωστές μας πράξεις: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση στο\mathbb{R} επεκτείνονται και στο\overline{\mathbb{R}} κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να μην οδηγούμεθα σε αντιφάσεις. Ακριβέστερα, ορίζουμε: 

1) Επιτρεπτές πράξεις στο\overline{\mathbb{R}}.
- ( + \infty ) =  - \infty ,{\rm{  }} - ( - \infty ) =  + \infty
\alpha  + ( + \infty ) = ( + \infty ) + \alpha  =  + \infty ,\forall \alpha  \in\mathbb{R}
\alpha  + ( - \infty ) = ( - \infty ) + \alpha  =  - \infty ,\forall \alpha  \in \mathbb{R}
( + \infty ) + ( + \infty ) =  + \infty ,( - \infty ) + ( - \infty ) =  - \infty
_______________________________
\alpha ( + \infty ) = ( + \infty )\alpha  =  + \infty ,\forall \alpha  \in \mathbb{R}_ + ^ *
\alpha ( - \infty ) = ( - \infty )\alpha  =  - \infty ,\forall \alpha  \in \mathbb{R}_ + ^ *
\alpha ( + \infty ) = ( + \infty )\alpha  =  - \infty ,\forall \alpha  \in \mathbb{R}_ - ^ *
\alpha ( - \infty ) = ( - \infty )\alpha  =  + \infty ,\forall \alpha  \in \mathbb{R}_ - ^ *
( + \infty )( + \infty ) =  + \infty ,( - \infty )( - \infty ) =  + \infty
( + \infty )( - \infty ) = ( - \infty )( + \infty ) =  - \infty
______________________________
\frac{\alpha }{{ \pm \infty }} = 0,\forall \alpha  \in \mathbb{R}


2) Μη επιτρεπτές πράξεις στο\overline{\mathbb{R}}.
( + \infty ) - ( + \infty ),( + \infty ) + ( - \infty ),( - \infty ) + ( + \infty )
0 \cdot ( \pm \infty ),( \pm \infty ) \cdot 0
\frac{{ \pm \infty }}{{ \pm \infty }},\frac{\alpha }{0},\forall \alpha\in\overline \mathbb{R}


• Έτσι εισάγονται τα σύμβολα +\infty ( συν άπειρο) και-\infty ( πλην άπειρο) στα μαθηματικά. Όλα τα άλλα είναι... φιλοσοφικές προσεγγίσεις.
• Τελειώνοντας θα ήθελα να επισημάνω ότι στους πραγματικούς αριθμούς δεν υπάρχει «άπειρο», υπάρχει «συν άπειρο» και «πλην άπειρο». Στους μιγαδικούς αριθμούς δεν υπάρχει «συν άπειρο» και «πλην άπειρο», υπάρχει « άπειρο» (\infty ). Εκεί, ως συμπαγές σύνολο των μιγαδικών αριθμών C ορίζεται το σύνολο \overline C  = C \cup \left\{ \infty  \right\} ( σφαίρα του Riemann κτλ.)

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger... Άδεια Creative Commons
Αυτό το εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση 4.0 Διεθνές .