Κυριακή, 17 Ιουλίου 2011

Εσωτερικό Γινόμενο

Γιατί ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο τον αριθμό διάνυσμα επί διάνυσμα ;

Ο Καθηγητής Νίκος Μαυρογιάννης έκανε μια καταπληκτική δημοσίευση στο mathematica.gr , η οποία ξεκαθαρίζει την ονομασία του εσωτερικού γινομένου.

'Ολη η ιστορία ξεκίνησε από τον Grassmann (1809-1877) ο οποίος στο έργο του (1832) : Θεωρία της Γραμμικής Επέκτασης, ένας νέος κλάδος των Μαθηματικών χρησιμοποίησε ένα σύστημα συμβολικού υπολογισμού με το οποίο παρείχε την δυνατότητα, μεταξύ άλλων, να εκτελεί και πολλαπλασιασμούς διανυσμάτων. 


Το έργο αυτό δεν είχε καλή τύχη. 'Οντας γραμμένο με ένα εξαιρετικά αφηρημένο τρόπο θεωρήθηκε ακατάληπτο και του ασκήθηκε δριμύτατη κριτική. Αργότερα επισκιάστηκε από το έργο του Hamilton για τις τετράδες. Μεταξυ των επικριτών του ο Μobius και ο Kummer. 

Ανάμεσα στα πολλά γινόμενα που όρισε ο Grassmann ήταν και το γνωστό μας εσωτερικό (έτσι το ονόμασε) γινόμενο και το επίσης γνωστό μας εξωτερικό (που αυτός το ονόμασε έτσι). Ο Grassmann έκανε διάφορες αναθεωρήσεις στο έργο του και και άλλαζε τους συμβολισμούς. 'Όταν η αργότερα η αξία του έργου του αναγνωρίστηκε επικράτησε εν μέρει και η ορολογία του.

Λέω εν μέρει γιατί ο Gibbs στις Ηνωμένες Πολιτείες δημοσίευσε το έργο του Στοιχεία Διανυσματικής Ανάλυσης διευθετημένα προς χρήση των Σπουδαστών της Φυσικής όπου χρησιμοποίησε τους όρους dot product για το εσωτερικό και vector product για το εξωτερικό.
Διάφοροι συγγραφείς όπως ο Cajori και ο Schwartzman αφήνουν να εννοηθεί ότι η επιλογή από τον Grassmann των δύο συγκεκριμένων όρων είναι περίπου τυχαία. Ο Schwartzman σημειώνει ότι ο Grassmann υιοθέτησε τον ένα όρο τυχαία και για το άλλο γινόμενο χρησιμοποίησε τον άλλο όρο σαν αντώνυμο (antonym). Λίγο ως πολύ αυτά τα είχα δει και πιο παλιά αλλά με αφορμή το ερώτημα σου κοίταξα λίγο πιο καλά τα πράγματα. Διαβάζοντας μου φάνηκε ότι η εξήγηση του Schwartzman (ανάπαράγεται και στην πολύ ενδιαφέρουσα ιστοσελίδα Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics του eff Miller που είναι καθηγητής στο Gulf High School (http://jeff560.tripod.com/mathword.html) ) δεν έστεκε και πολύ. 
Η πρώτη αντίρρηση ήταν ότι ο Grassmann είχε χρησιμοποιήσει και άλλα γινόμενα και σε μερικά είχε δώσει και ονόματα. Η δεύτερη αντίρρηση προέκυψε όταν έκανα τον κόπο να δω μερικά αποσπάσματα από το έργο του Grassmann. Προς Θεού όχι στα Γερμανικά (που δεν γνωρίζω και όποτε χρειάζομαι κάτι δουλεύω με μία Γραμματική και ένα Λεξικό: αυτό το καλοκαίρι «δώσαμε», αφού καταταλαιπωρήθηκα με ένα άρθρο του Hamel του 1905) αλλά από την ανθολογία του Smith.
Ο Grassmann ξεκινάει με κάποιες ποσότητες όπως τις ονομάζει $e_{1},e_{2},e_{3},..$ που τις αποκαλεί μονάδες όπου μία από αυτές, ας πούμε η e_{1} είναι πραγματικός αριθμός (την λέει απόλυτη μονάδα) αλλά οι άλλες όχι (τις λέει σχετικές μονάδες). Κινούμενος εντελώς αφηρημένα χωρίς να αποδίδει κάποιο περιεχόμενο στις μονάδες σχηματίζει μετά αθροίσματα
\sum\limits_{i}\lambda _{i}e_{i} με \lambda _{i} πραγματικούς. Τα αθροίσματα αυτά τα ονομάζει εκτατικές ποσότητες. Με την σύγχρονη γλώσσα (που δεν υπήρχε τότε: η έννοια του διανυσματικού χώρου αναπτύχθηκε πολύ αργότερα από τον Weyl) πρόκειται για γραμμικούς συνδυασμούς διανυσμάτων.

Δύο εκτατικές ποσότητες προστίθενται κατά τον προφανή τρόπο και πολλαπλασιάζονται με τον «αναμενόμενο» τρόπο
\left( \sum\limits_{i}\lambda _{i}e_{i}\right) \left( \sum\limits_{i}\lambda _{i}^{\prime }e_{i}\right) =\sum\limits_{i,j}\lambda _{i}\lambda _{j}^{\prime }e_{i}e_{j} .

Το δύσκολο σημείο είναι ο ορισμός της «προπαίδειας» με την οποία πολλαπλασιάζονται τα e_{i},e_{j}. Ο Grassmann χρησιμοποιεί διάφορες επιλογές. Η βασική λογική είναι τα υπάρχοντα μαθηματικά αντικείμενα να «εκτείνονται» για να φτιάξουν νέα δηλαδή να ξεφεύγουμε από το υπάρχον. Μία από αυτές (που συμπίπτει με το γνωστό μας εσωτερικό γινόμενο) οδηγεί σε αποτέλεσμα που είναι πολλαπλάσιο της απόλυτης μονάδας e_{1} δηλαδή είναι «μέσα» σε αυτό που έχουμε.

Ο Grassmann σημειώνει: «Συνεπώς αυτά τα γινόμενα θα δηλωθούν ως εσωτερικά γινόμενα». Πιο κάτω όταν σχηματίζει το γνωστό μας εξωτερικό γινόμενο το ονομάζει εξωτερικό γιατί επεκτείνεται έξω από το υπάρχον (το εξωτερικό γινόμενο μας βγάζει από το επίπεδο των δύο παραγόντων του). Κατά την γνώμη μου λοιπόν η επιλογή των όρων από τον Grassmann δεν έγινε καθόλου τυχαία.

Πολύ αργότερα ορίσθηκαν με άλλη λογική οι (διμελείς) εσωτερικές ή εξωτερικές πράξεις και με την λογική των πράξεων αυτών οι όροι εσωτερικό, εξωτερικό έπρεπε να δοθούν ανάποδα. Πρόκειται για ένα εντελώς συμπτωματικό γεγονός-αντίθεση που οφείλεται στο ότι κάποιες ιδέες αναπτύχθηκαν παράλληλα αλλά όχι σε πλήρη αλληλεπίδραση.

Για όσους ενδιαφέρονται αναφέρω κάποια από τα βιβλία, άρθρα που συμβουλεύθηκα:

(α) Cajori_A History of mathematical Notations, DOVER, 1993, (1929)
(β) Crowe_A History of Vector Analysis. The Evolution of the Idea of a Vectorial System, DOVER, 1994 (1967)
(γ) Moore_The axiomatization of linear algebra. 1875-1940, Historia Mathematica, 22 (1995), 262-303
(δ) Fearnley-Sander_Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 10, 1978, 809-817
(ε) Smith_A Sourse Book in Mathematics, DOVER, 1959 (1929)
(στ) Schwartzman_The Words of Mathematics. An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English, Mathematical Association of America, 1994


Συγγραφέας : Νίκος Μαυρογιάννης
Όλη την συζήτηση για την ονομασία του εσωτερικού γινομένου θα την βρείτε στο
mathematica.gr .

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger... Άδεια Creative Commons
Αυτό το εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση 4.0 Διεθνές .