Σάββατο, 16 Ιουλίου 2011

12 Ορισμοί του Ημιτόνου

Ως γνωστόν, ο κλασικός τρόπος ορισμού του ημιτόνου (τον οποίο ακολουθούν και τα Σχολικά βιβλία) είναι γεωμετρικός μέσω ορθογωνίων τριγώνων. Από αυτόν τον ορισμό αποδεικνύεται και το $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu x}}{x} = 1$ το οποίο έχει πόρισμα την εύρεση της παραγώγου του ημιτόνου.


Με αυτούς τους όρους, η χρήση του κανόνα de L' Hospital για την εύρεση του ορίου 
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu x}}{x}$ δεν είναι επιτρεπτή, ως κυκλικός συλλογισμός.

Όμως στα Ανώτερα Μαθηματικά, το πράγμα αλλάζει. Ο παραπάνω ορισμός μπορεί να επαρκεί για μεγάλο και ουσιαστικό τμήμα των Μαθηματικών, δεν είναι όμως δόκιμος για τον Αναλύστα. Και η αιτία είναι ότι ο τελευταίος απαιτεί έναν ορισμό ανεξάρτητο των Ευκλείδειων αιτημάτων του κλασσικού ορισμού.

Γνωρίζω τουλάχιστον 12 τέτοιους ορισμούς (απαριθμώ κάποιους στα παρακάτω),
τους οποίους μπορεί να βρει κανείς διάσπαρτα στα βιβλία Ανάλυσης. Παραδείγματος χάριν, αν θυμάμαι καλά, ο Απειροστικός του Νεγραπόντη κ.α. αρχίζει από το «τόξο ημιτόνου» ως \[\int\limits_0^x {\frac{1}{{\sqrt {1 - {y^2}} }}} dy\] 

, και κατόπιν ορίζει το «ημίτονο» ως την αντίστροφη του «τόξου ημιτόνου», αφού πρώτα αποδείξει όποια ενδιάμεση ιδιότητα χρειάζεται. Μία από τις ιδιότητες που αποδεικνύονται στα επόμενα είναι το\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu x}}{x} = 1\].

Με αυτούς τους όρους, αντίθετα από τα παραπάνω, η χρήση του κανόνα de L' Hospital για την εύρεση του \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu x}}{x}\]  
ΕΙΝΑΙ επιτρεπτή.


Γνωστοί τρόποι αναλυτικού ορισμού :

1. μέσω της σειράς Taylor , $\eta \mu x = x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ...$
 
2. μέσω της διαφορικής εξίσωσης αρχικών τιμών y'' =  - y, y ( 0 ) = 0, y' ( 0 ) = 1

3. μέσω του συστήματος διαφορικών εξισώσεων s' = c, c' = -s, s(0) = 0, c(0) = 1

4. μέσω του αντιστρόφου του ολοκληρώματος $\int {\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} dx$ (δίνει εμβαδόν κύκλου)

5. μέσω του αντιστρόφου του ολοκληρώματος $\int {\sqrt {1 - {x^2}} } dx$ (δίνει μήκος τόξου περιφερείας)

6. μέσω της εφαπτομένης, η οποία ορίζεται ως αντίστροφη του ολοκληρώματος της $f\left( x \right) = \frac{1}{{1 + {x^2}}}$


7. μέσω αντίστροφης της συνάρτησης που έχει σειρά Τaylor αυτή του τόξου ημιτόνου, δηλαδή $x+\frac{1}{2}\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{{{x^5}}}{5} + ...$


8. μέσω εφαπτομένης η οποία με τη σειρά της ορίζεται ως αντίστροφη της συνάρτησης που έχει σειρά Τaylor αυτή του τόξου εφαπτομένης, δηλαδή $\frac{x}{{1!}} - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} - \frac{{{x^7}}}{{7!}} + ...$

9. μέσω των συναρτησιακών σχέσεων s(x + y) = s(x)c(y) + s(y)c(x), c(x + y) = c(x)c(y) – s(x)s(y), και με χρήση Μιγαδικής Ανάλυσης

10. ως το φανταστικό μέρος του $e^{x + yi}$ το οποίο ορίζεται με διάφορους τρόπους (διαφορικούς, ολοκληρωτικούς, συναρτησιακούς, με σειρές, με όρια κ.λπ.)

11. ως αντίστροφη της $i\log (iz + \sqrt {1 - {z^2}} )$ , όπου  $z = x + yi$


12. μέσω εφαπτομένης η οποία με τη σειρά της ορίζεται ως αντίστροφη της $\frac{i}{2}\log (\frac{{1 - iz}}{{1 + iz}})$ ,  όπου  $z = x + yi$


Καθηγητής Πανεπιστημίου Κρήτης , Μιχάλης Λάμπρου
Πηγή : mathematica.gr

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger... Άδεια Creative Commons
Αυτό το εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση 4.0 Διεθνές .